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逆向思维

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[摘要]正向思维是解决问题的正常途径,但对一些问题常常一筹莫展;若改变思维方向,用逆向思维方法,可以使问题迎刃而解。

[关键词]逆向思维

逆向思维是一种创造性思维。逆向思维是相对正向思维而言,它是与人们常规思维程序相反的,不是从原因(或条件)来推知结果(或结论),而是从相反方向展开思路,分析问题,而得出的结论。

由于数学定义,公式都有可逆性,不少数学定理、数学运算以及解题过程也有可逆性,所有这些可逆性理论为逆向思维提供了理论依据。因此,在解答数学题时,应摆脱思维定势的束缚,打破常规,从问题的反面入手,这样常能由“山穷水尽”进入“柳暗花明”。本文从以下几个方面说明如何应用“逆向思维”巧解数学题。

1利用公式的可逆性,使难题迎刃而解

善于将数学公式从右到左熟练地逆向运用,是对公式真正理解程度掌握的重要标志。当解题思路受阻,出现思维障碍时,如能灵活地将公式逆向运用,能使解题豁然开朗。

例1、求的值

分析:若按习惯正用公式,极易想到对进行积化和差,得,但由于没有出现特殊角,无法求出其值,此时如再利用倍角公式展开,仍然不能奏效,若联想到二倍角公式的可逆性,逆向运用二倍角公式,本题可顺利获解。

解:

2借助数学运算的可逆性,逆向探求解题途径

数学中的许多运算都是可逆的,例如加法与减法,乘法与除法,乘方与开方,指数运算与对数运算,三角运算与反三角运算等等。在同一级运算中,一种运算的逆运算都是由它的正运算引出的,解题时,注意借助数学运算的可逆性,学会逆向运算法则,可以有效地培养运算能力,提高解题速度。

例2、已知、、为正数,且,求证:。

分析:观察条件等式的左边,逆向联想到是反正弦值。可以把条件等式转换成正弦来解答,所以可证。

证明:设,,,则,,,即求:。

3利用“正难则反”的原则,使解题思路豁然开朗

解决一个数学问题,若正面情况比较复杂,或从正面无法入手时,则必须快速转向,采取顺繁则逆,正难则反的策略。

例3、若下列三个方程:,,,至少有一个方程有实根。试求实数的取值范围。

分析:三个方程中至少有一个方程有实根,情况很复杂,可能有七种情况分别讨论,十分复杂,但从反面入手,只有一种情况,即三个方程都没有实根,情况仍为简单,由此得以下解法。

解:若三个方程均无实数根,则有

解得,要使三个方程至少有一个方程有实根,则的取值范围为(,,

4把握因果关系的可逆性,逆向探求解题途径

数学过程有一定的因果关系,通常从原因推知结论,但有时可反过来,从肯定的结论入手进行推理,推出符合条件或易证的命题,并且推理的每一步均可逆,则可证得原命题成立,这种“执果索因”的分析方法,便于思考,有益于获得解题捷径。

例4、求证:的最小值是

分析:若要证明函数的最小值是,只需证成立,则移项得,变形为,即,当时,此不等式成立,每一步都可逆推回去。

5利用反证法思想,寻找解题佳径

数学题浩似烟海,如果单纯用一种思维方式去思考,有时会思路闭塞,陷入困境,若善于从不同角度、不同方向思考问题,熟练灵活运用反证法,能使一些难题迎刃而解,出奇制胜地解决问题。

例5、已知锐角、满足,求证:。

分析:本题若直接由已知条件证明,确有很大的难度。但若从反面出发,考虑,与三种可能情况,则间接得证。

证明:(1)假若且、为锐角,则。

,即

。——①

同理,即

。——②

由①+②得,这与已知条件矛盾。

不大于。

(2)假若,则。

同上证法,有且。

,这与已知条件矛盾

不小于。

综合上述情况,可知成立。

本文通过以上五个方面来讨论逆向思维方法。解决一些数学问题,充分显示出逆向思维是重要的数学思维方法。但是,由于我们的教学过程大部分是顺向思维,往往使学生在很大程度上形成思维定势,这样在某种程序上制约了逆向思维的建立,所以在以后教学中如何对学生进行逆向思维训练,帮助学生由单向思维向双向思维发展,提高解题能力,这仍然需要广大教师努力去工作。

[参考文献]

[1]工瑞立•邹泽民•中学数学方法论[M]•广西教育出版社

[2]杨云•培养创新思维的途径与方法[J]•数学教学研究•2002.1

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